Конор родом из Эдинбурга, Шотландия. В 24 года стал студентом Центра актерского мастерства Джайлза Формана в лондонском Сохо, где получил диплом о высшем образовании. Спустя полгода после выпуска Конор дебютировал в кино (и сразу в главной роли), сыграв авантюриста Дэйви в британском инди-фильме
«Махинаторы», который получил премию зрительских симпатий Эдинбургского международного кинофестиваля.